1) Giải hệ phương trình sau:       \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{2x  +  y  =  5}}\\{\rm{x - 3y = - 1}} \end{array} \right.\)

* Hướng dẫn giải

1) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}5\\
x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} = {\rm{ }}15\\
x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}1
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7x{\rm{ }} = {\rm{ }}14\\
y{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}2x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\\
y{\rm{ }} = {\rm{ }}1
\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)

2) Ta có \(\frac{{\sqrt {\rm{x}} {\rm{  +  1}}}}{{\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2}}}}{\rm{  +  }}\frac{{2\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} {\rm{  +  2}}}}{\rm{  +  }}\frac{{2{\rm{  +  5}}\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{4  -  x}}}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\)

\(\begin{array}{l}
 = \frac{{(\sqrt {\rm{x}} {\rm{ + 1) (}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  + }}{\rm{2)  +  2}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{ (}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2)  -  2  -  5}}\sqrt {\rm{x}} }}{{(\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2) (}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  +  2)}}}}\\
 = \frac{{{\rm{x  +  3}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  + }}{\rm{2  +  2x  -  4}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2  -  5}}\sqrt {\rm{x}} }}{{(\sqrt {\rm{x}} {\rm{  + }}{\rm{2) (}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2)}}}}\\
 = \frac{{{\rm{3x  -  6}}\sqrt {\rm{x}} }}{{(\sqrt {\rm{x}} {\rm{  +  2) (}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2)}}}}{\rm{ }}\\
{\rm{ =  }}\frac{{3\sqrt {\rm{x}} {\rm{ (}}\sqrt {\rm{x}}  - 2)}}{{(\sqrt {\rm{x}} {\rm{  +  2) (}}\sqrt {\rm{x}} {\rm{  -  2)}}}}{\rm{  =  }}\frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} {\rm{  + }}{\rm{2}}}}
\end{array}\)

Vậy \({\rm{P  = }}\frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} {\rm{  + }}{\rm{2}}}}\) với \(x \ge 0,x \ne 4\)

3) a) Ta có \(\Delta ' = (m + 1)^2 - m^2 = 2m + 1 \)

Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{2}\)

b) Theo hệ thức Vi - ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\quad (1)\\
{x_1}{x_2} = {m^2}\quad \quad (2)
\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có  \(m =  \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\) thay vào (2) ta được  

\({x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1} \right)^2}\) hay 4x₁x₂ = (x₁ + x₂ - 2)²  là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m