Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \ge 3\)

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\)

Ta có \(x + 2y = 3 \Rightarrow  x = 3 – 2y\), vì x dương nên 3 – 2y > 0

Xét hiệu

\(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - 3 = \frac{1}{{3 - 2y}} + \frac{2}{y} - 3 = \frac{{y + 6 - 4y - 3y(3 - 2y)}}{{y(3 - 2y)}} = \frac{{6{{(y - 1)}^2}}}{{y(3 - 2y)}} \ge 0\) (vì y > 0 và 3 - 2y > 0)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2y}} \ge 3\) dấu “ =” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0,y > 0\\
x = 3 - 2y\\
y - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0,y > 0\\
x = 1\\
y = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\)