Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : (y =  - 2ax - 4a) (với a là tham số)1.Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi \(a = - \frac{1}{2}\)

* Hướng dẫn giải

1) Với \(a =  - \frac{1}{2}\), ta có (d): \(y=x+2\)

Tọa độ giao điểm của (d): \(y=x+2\) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = {x^2}\\
y = x + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = x + 2\\
{x^2} - x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = x + 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 4
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy (d): \(y=x+2\) và (P) có 2 giao điểm là \((2;4)\) và \((-1;1)\)

2) Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = {x^2}\\
y =  - 2ax - 4a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  - 2ax - 4a\\
{x^2} + 2ax + 4a = 0
\end{array} \right.\)

Suy ra \(x_1, x_2\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2ax + 4a = 0\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4a > 0\)

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = -2a\\
{x_1}.{x_2} = 4a
\end{array} \right.\)

Mặt khác \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2\left| {{x_1}.{x_2}} \right| = 9\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} + 2\left| {{x_1}.{x_2}} \right| = 9\\
 \Leftrightarrow 4{a^2} - 2.4a + 2.\left| {4a} \right| = 9\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4{a^2} = 9,a > 0\\
4{a^2} - 16a = 9,a < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{3}{2}\left( l \right)\\
a = \frac{{ - 1}}{2}\left( n \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy giá trị \(a\) cần tìm là \(a = \frac{{ - 1}}{2}\)