Ta có: 4(2x2 + xy + 2y2) = 5(x+ y)2 + 3(x- y)2 \( \ge \) 5(x+ y)2
Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi x = y
Vì x, y > 0 nên \(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(x + y)^2\). Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x = y
Chứng minh tương tự ta có:
\(\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(y + z)^2\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi y = z
\(\sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}} \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(z + x)^2\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi z = x
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:
\(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}} + \sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}} + \sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}} \ge \sqrt 5 (x + y + z)\)
Dấu ‘‘=’’xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Copyright © 2021 HOCTAP247