Cho biểu thức A = \(\left( {\left.{\frac{{{\rm{x}} - \sqrt {\rm{x}} - 2}}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} - (\sqrt {\rm{x}} + 2)} \right)} \right.\frac{{1 + \sqrt {\rm{x}} (\sqrt {\rm{x}}...

* Hướng dẫn giải

1) Với  \(x \ge 0;x \ne 1\) ta có

\(\begin{array}{l}
A = \left( {\left. {\frac{{{\rm{x}} - \sqrt {\rm{x}}  - 2}}{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}} - (\sqrt {\rm{x}}  + 2)} \right)} \right..\frac{{1 + \sqrt {\rm{x}} (\sqrt {\rm{x}}  - 2)}}{2} = \frac{{{\rm{x}} - \sqrt {\rm{x}}  - 2 - (\sqrt {\rm{x}}  + 2)(\sqrt {\rm{x}}  - 1)}}{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}}.\frac{{{\rm{x }} - 2\sqrt {\rm{x}}  + 1}}{2}\\
 = \frac{{{\rm{x}} - \sqrt {\rm{x}}  - 2 - {\rm{x  +  }}\sqrt {\rm{x}}  - 2\sqrt {\rm{x}}  + 2}}{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}}.\frac{{{{(\sqrt {\rm{x}}  - 1)}^2}}}{2}\\
 = \frac{{ - 2\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}}  - 1}}.\frac{{{{(\sqrt {\rm{x}}  - 1)}^2}}}{2} =  - \sqrt {\rm{x}} (\sqrt {\rm{x}}  - 1) =  - x + \sqrt x 
\end{array}\)

Vậy \(A =  - x + \sqrt x \) với \(x \ge 0;x \ne 1\)

2) Với \(x \ge 0;x \ne 1\) . Ta có A = \( - x + \sqrt x  =  - (x - \sqrt x  + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} =  - {(\sqrt x  - \frac{1}{2})^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\)

Do đó A đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{1}{4}\) khi và chỉ khi \(\sqrt x  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\) (Thỏa mãn \(x \ge 0;x \ne 1\))