Cho biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\) a)...

* Hướng dẫn giải

a) Điều kiện : \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\)

\(\begin{array}{l}
A = \,\,\frac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}\\
A = \,\,\frac{{2\sqrt x  - 9}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\\
A = \frac{{2\sqrt x  - 9 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) + \left( {2\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\
A = \,\frac{{2\sqrt x  - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\
A = \,\,\frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}
\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\) thì \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

b) Với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9\) thì \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}}\)

Ta có \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}\)

Vì 1 là số nguyên nên A nhận giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x  - 3}}\) có giá trị nguyên \(\sqrt x  - 3 \in U(4)\)

+) \(\sqrt x  - 3 = 4 =  > x = 49\) (t/m)         +) \(\sqrt x  - 3 = 2 =  > x = 25\) (t/m)

+) \(\sqrt x  - 3 = 1 =  > x = 16\) (t/m)         +) \(\sqrt x  - 3 = -1 =  > x = 4\) (không t/m)

+) \(\sqrt x  - 3 = -2 =  > x = 1\) (t/m)          +) \(\sqrt x  - 3 =  - 4 =  > \sqrt x  =  - 1(VN)\)

Vậy với các giá trị x nguyên là: 49 ; 25; 16; 1 thì A nhận giá trị nguyên