Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x.y.z=1.

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
{x^3} + {y^3} + 1 = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) + xyz \ge xy(x + y)xyz\\
\;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad  = xy(x + y + z) = \frac{1}{z}\left( {x + y + z} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3} + {y^3} + 1}} \le \frac{z}{{x + y + z}}\\
\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + 1}} + \frac{1}{{{y^3} + {z^3} + 1}} + \frac{1}{{{z^3} + {x^3} + 1}} \le 1
\end{array}\)

Ta có: P = 1