Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn \(4 x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}=1\)

* Hướng dẫn giải

 \(\Delta=(2 m-1)^{2}-4.2 \cdot(m-1)=(2 m-3)^{2} \geq 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m .

\(\text { Theo định lý Viet, ta có: }\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-\frac{2 m-1}{2} . \\ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{m-1}{2} \end{array}\right.\)

Khi đó:

\(4 x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{2}^{2}=1 \Leftrightarrow 4\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-6 x_{1} x_{2}=1\)

\(\Leftrightarrow(1-2 m)^{2}-3(m-1)=1 \Leftrightarrow 4 m^{2}-7 m+3=0\)

Phương trình này có tổng các hệ số a + b + c = 4 + (−7) + 3 = 0 nên phương trình này có các nghiệm \(m_{1}=1, m_{2}=\frac{3}{4}\)