Chọn đáp án đúng. Một hình trụ có thể tích V không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ đó là nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là R,h (R>0;h>0)

Ta có: \( V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {R^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ

\(\begin{array}{l} {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\frac{V}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \frac{{2V}}{R} + 2\pi {R^2}\\ = \frac{V}{R} + \frac{V}{R} + 2\pi {R^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{V}{R}.\frac{V}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}} \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{V}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2R}}}}\)

Vậy \( R = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2R}}}}\) với  thì S_tp đạt giá trị nhỏ nhất là \( 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\)