Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \(a + b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{25}}{{ab}} + ab\)

* Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT : \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow \dfrac{{a + b}}{{ab}} \ge \dfrac{4}{{a + b}} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{25}}{{ab}} + ab\\S = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{{49}}{{2ab}} + ab\\S \ge \dfrac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} + \dfrac{{49}}{{2ab}} + ab\\S \ge \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \dfrac{{17}}{{2ab}} + \dfrac{{16}}{{ab}} + ab\end{array}\)

Ta có \(2\sqrt {ab}  \le a + b\)

\(\Leftrightarrow ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \le 4\)

\(\Rightarrow \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow S \ge \dfrac{1}{4} + \dfrac{{17}}{{2.4}} + 2\sqrt {\dfrac{{16}}{{ab}}.ab}  = \dfrac{{83}}{8}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\a = b\\ab = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\).

Vậy \({S_{\min }} = \dfrac{{83}}{8}\), đạt tại \(a = b = 2\).