Gọi a; b; c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau

* Hướng dẫn giải

$c^2{x}^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)x+b^2$= 0.

Δ = ${\left(a^2-b^2-c^2\right)}^2$ - $4b^2{c}^2$

= ${\left(a^2-b^2-c^2\right)}^2$ - ${\left(2bc\right)}^2$

= ($a^2-b^2-c^2$ + 2bc)($a^2-b^2-c^2$ - 2bc)

= [$a^2$ - ${\left(b-c\right)}^2$][$a^2$ - ${\left(b+c\right)}^2$]

= (a + b – c)(a – b + c)(a + b + c)(a – b – c)

Vì a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác, dựa vào tính chất bất đẳng thức tam giác, ta có: |b – c| < a < b + c.

Do đó a + b + c > 0; a + b – c > 0; a – b + c > 0 còn a – b – c < 0.

Suy ra Δ < 0. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.