Chu vi hình chữ nhật ABCD là 20cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC.

* Hướng dẫn giải

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

$\begin{array}{l}A{C}^2=x^2+(10- x^2)\\ =x^2+100-20x+x^2\\ =2x^2-20x+100\\ =2\left(x^2-10x+25\right)+50\\ =2\cdot (x^2-10x+25)+50\ge 50\end{array}$

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu "=" xảy ra khi ${(x-5)}^2$ = 0 ⇔ x = 5.

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.