Chu vi hình chữ nhật ABCD là 20cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC.

* Hướng dẫn giải

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

${\text{AC}}^2={\text{x}}^2+{(10-\text{x})}^2$

$\begin{array}{l}=x^2+100-20x+x^2\\ =2x^2-20x+100\\ =2\left(x^2-10x+25\right)+50\\ =2\cdot {(x-5)}^2+50\ge 50\end{array}$

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu "=" xảy ra khi ${(x – 5)}^2 = 0 \iff x = 5.$

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.