Cho phương trình ​\({x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thỏa

* Hướng dẫn giải

 \(\begin{array}{l} {x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\\ \Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 5 - 4m \end{array}\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 5 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)

Theo định lí Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m - 1\\ {x_1}.{x_2} = {m^2} - 1 \end{array} \right.\)

Theo đề bài:
\(\begin{array}{l} {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {(2m - 1)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\\ ta\,có\,:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} + {x_2} = 2m - 1}\\ {{x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}}\\ {{x_2} = \frac{{3(m - 1)}}{2}} \end{array}} \right.} \right.\\ mà\,{x_1}.{x_2} = {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3(m - 1)}}{2} = {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = \pm 1 \end{array}\)