Cho hệ phương trình x+my=1 và mx-y=-m. Hệ thức liên hệ giữa x và y

* Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m\left(1-my\right)-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m-m^{2}y-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ y\left(m^2+1\right)=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $m^2+1\ge 1>0\Rightarrow y=\frac{2m}{m^2+1}\Rightarrow x=1–my=1-\frac{2m^2}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1}$

Xét $x^2+y^2={\left(\frac{1-m^2}{m^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{2m}{m^2+1}\right)}^2=\frac{m^4-2m^2+1+4m^2}{{\left(m^2+1\right)}^2}=\frac{m^4+2m^2+1}{{\left(m^2+1\right)}^2}=\frac{{\left(m^2+1\right)}^2}{{\left(m^2+1\right)}^2}=1$

Vậy $x^2 + y^2 = 1$ không phụ thuộc vào giá trị của m

Đáp án: D