Hệ phương trình (x+y)(1+1/xy)=5 và (x^2 + y^2)(1+1/x^2.y^2)=9 có số nghiệm

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: xy ≠ 0

Hệ đã cho tương đương

$\left\{\begin{array}{l}x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5\\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\\ {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{y}\right)}^2=13\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)=S\\ \left(x+\frac{1}{x}\right).\left(y+\frac{1}{y}\right)=P\end{array}\right.$

Hệ trở thành

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{S}^2-2P=13\\ S=5\end{array}\right.\iff S=5, P=6 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=2;y+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle y}}=3\\ x+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=3;y+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle y}}=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1;y=\frac{{\displaystyle 3\pm \sqrt{5}}}{{\displaystyle 2}}\\ x=\frac{{\displaystyle 3\pm \sqrt{5}}}{{\displaystyle 2}};y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm (x; y) = $\left(1;\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\right)$; (x; y) =$\left(\frac{3\pm \sqrt{5}}{2};1\right)$

Đáp án:C