Hệ phương trình x^2+ căn x =2y và y^2 + căn y =2x có bao nghiêu cặp nghiệm

* Hướng dẫn giải

Điều kiện x, y  0. Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được

$$\begin{gathered} x^2+\sqrt{x}-\left(y^2+\sqrt{y}\right)=2\left(y-x\right) \\ \iff \left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)+1+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\right]=0 \end{gathered}$$

Vì $\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)+1+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)>0$ nên phương trình đã cho tương đương với x = y

Thay x = y vào phương trình $x^2+\sqrt{x}= 2y$ ta được $x^2+\sqrt{x}=2x$

$$\begin{gathered} \iff x^2–2x+\sqrt{x}=0 \iff x^2–x-x+\sqrt{x}=0 \\ \iff x(x–1)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=0 \\ \iff x\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=0 \\ \iff \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\to y=0\\ x=1\to y=1\\ x+\sqrt{x}-1=0\left(*\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có phương trình (*) $\iff {\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}=0\iff {\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2$

$\iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \sqrt{x}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\left(L\right)\end{array}\right.\Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Vậy hệ có 3 cặp nghiệm (x; y) $\in \left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right),\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\right\}$

Suy ra có hai cặp nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án:C