Hệ phương trình (x-1)(y^2 +6)=y(x^2 +1) và (y-1)(x^2 +6)=x(y^2+1) có bao nhiêu

* Hướng dẫn giải

Hệ đã cho $\iff \left\{\begin{array}{l}x{y}^2+6x-y^2-6=y{x}^2+y\\ y{x}^2+6y-x^2-6=x{y}^2+x\end{array}\right.$

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

2xy(y – x) +7 (x – y) + (x – y) (x + y) = 0

$\iff$(x – y)(x + y – 2xy + 7) = 0 $\left[\begin{array}{l}x=y\\ x+y-2xy+7=0\end{array}\right.$

+ Nếu x = y thay vào hệ ta có: $x^2–5x+6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=y=2\\ x=y=3\end{array}\right.$

+ Nếu x + y – 2xy + 7 = 0$\iff$2x + 2y – 4xy + 14 = 0

$\iff$(2x – 1) + 2y (1 – 2x) = −15$\iff$(1 – 2x) (1 – 2y) = 15

Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

$x^2+y^2–5x–5y+12=0\iff 4x^2–20x+25+4y^2–20y+25–2=0$

$\iff {(2x–5)}^2+{(2y–5)}^2=2\iff {(2x–5)}^2+{(2y–5)}^2=2$

Đặt a = 2x – 5; b = 2y – 5

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=2\\ \left(a+4\right)\left(b+4\right)=14\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^2-2ab=2\\ ab+4\left(a+b\right)=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ ab=-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a+b=-8\\ ab=31\end{array}\right.\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ ab=-1\end{array}\right.\iff$(x; y) = (3; 2), (2; 3)

Trường hợp 2: $\left\{\begin{array}{l}a+b=-8\\ ab=31\end{array}\right.$vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y)  {(2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)}

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x; y) = (3; 2)

Đáp án:A