Cho hệ phương trình 1/xy = x/z +1 và 1/yz = y/z +1 và 1/zx = z/x +1. Số nghiệm

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xyz$\ne$0. Nhận thấy nếu một trong ba số x, y, z có một số âm, chẳng hạn x < 0 thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số x, y, z là số âm chẳng hạn x, y < 0 thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số x, y, z cùng dấu

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{xy}=\frac{x}{z}+1\\ \frac{1}{yz}=\frac{y}{z}+1\\ \frac{1}{zx}=\frac{z}{x}+1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{xyz}=\frac{x}{z^2}+\frac{1}{z}\\ \frac{1}{xyz}=\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x}\\ \frac{1}{xyz}=\frac{z}{y^2}+\frac{1}{y}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{xyz}=\frac{x+z}{z^2}\\ \frac{1}{xyz}=\frac{y+x}{x^2}\\ \frac{1}{xyz}=\frac{z+y}{y^2}\end{array}\right.$

* Trường hợp 1: x, y, z > 0

Nếu x $\ge$y chia hai vế của phương trình thứ hai cho hai vế của phương trình thứ ba của hệ ta được $\frac{x^2}{y^2}=\frac{x+y}{y+z}\Rightarrow x\ge z$

Với x $\ge$z chia hai vế phương trình chứ nhất cho phương trình thứ hai:$\frac{z^2}{x^2}=\frac{x+z}{y+x}\Rightarrow z\le y$

Với z $\le$y chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ ba:$\frac{z^2}{y^2}=\frac{x+z}{y+z}\Rightarrow x\le y$

Suy ra x = y = z thay vào hệ đã cho ta tìm được $\frac{1}{x^2}=2\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (x > 0) suy ra nghiệm  x = y = z = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

* Trường hợp 2: x, y, z < 0 ta làm tương tự tìm được thêm nghiệm x = y = z = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

Đáp án:C