Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có $\tan B=\frac{AD}{BD}$; $\tan C=\frac{AD}{CD}$

Suy ra: $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{BD.CD}$ (1)

Lại có: $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$ ) và $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}={90}^0$

Do đó $∆BDH~∆ADC$(g.g), suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{BD}{AD}$, do đó BD.DC = DH.AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{DH.AD}=\frac{AD}{DH}$(3)

Theo giả thiết $\frac{HD}{AH}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{HD}{AH+HD}=\frac{1}{2+1}$ hay $\frac{HD}{AD}=\frac{1}{3}$, suy ra AD = 3HD

Thay vào (3) ta được: $\tan B.\tan C=\frac{3HD}{DH}=3$

Đáp án cần chọn là: B