Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có: $\tan B=\frac{AD}{BD}$; $\tan C=\frac{AD}{CD}$

Suy ra: $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{BD.CD}$ (1)

Lại có $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$) và $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}={90}^0$

Do đó $∆BDH~∆ADC$(g.g), suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{BD}{AD}$, do đó BD.DC = DH.AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{DH.AD}=\frac{AD}{DH}$ (3)

Theo giả thiết $\frac{HD}{AH}=\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{HD}{AH+HD}=\frac{3}{2+3}$ hay $\frac{HD}{AD}=\frac{3}{5}$, suy ra AD = $\frac{5}{3}$ HD

Thay vào (3) ta được: $\tan B.\tan C=\frac{\frac{5}{3}HD}{DH}=\frac{5}{3}$

Đáp án cần chọn là: D