Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b, BA = a

* Hướng dẫn giải

a, Ta đã chứng minh được: AE = $\frac{b+c-a}{2}$

=> AE = $\frac{a+b+c-2a}{2}$ = p – a

∆AIE có IE = EA.tan$\frac{\widehat{BAC}}{2}$

= (p – a).tan$\frac{\widehat{BAC}}{2}$

b, Chú ý: BI$\perp$FD và CI$\perp$E. Ta có:

$\widehat{BIC}={180}^0-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICD}\right)$ = ${180}^0-\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)$

= ${180}^0-\frac{1}{2}\left({180}^0-\widehat{BAC}\right)$ = ${90}^0+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Mà: $\widehat{EDF}={180}^0-\widehat{BIC}={90}^0-\frac{\alpha }{2}$

c, BH,AI,CK  cùng vuông góc với EF nên chúng song song => $\widehat{HBA}=\widehat{IAB}$ (2 góc so le trong)

và $\widehat{KCA}=\widehat{IAC}$ mà $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ nên $\widehat{HBA}=\widehat{KCA}$

Vậy: ∆BHF:∆CKE

d, Do BH//DP//CK nên $\frac{BD}{DC}=\frac{HP}{PK}$ mà DB = DF và CD = CE

=> $\frac{HP}{PK}=\frac{BF}{CE}=\frac{BH}{CK}$ => ∆BPH:∆CPK => $\widehat{BPH}=\widehat{CPE}$

Lại có: $\widehat{BFP}=\widehat{CEF}$ => ∆BPF:∆CEP (g.g)

mà $\widehat{BPD}=\widehat{CPD}$ => PD là phân giác của $\widehat{BPC}$