Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C di động

* Hướng dẫn giải

a, Ta có: $\widehat{ECA}+\widehat{OCA}={90}^0$ và $\widehat{ACH}+\widehat{OAC}={90}^0$

mà $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (do tam giác AOC cân tại O)

Suy ra $\widehat{ECA}=\widehat{ACH}$

Khi đó $\widehat{EAC}=\widehat{HAC}$ (cùng lần lượt phụ với $\widehat{ECA}$ và $\widehat{ACH}$), ta có đpcm

b, Chứng minh tương tự  suy ra BC là phân giác của $\widehat{FBH}$

Từ đó, chứng minh được BC vuông góc HF (1)

Tam giác ABC có trung tuyến OC = $\frac{1}{2}$AB. Suy ra tam giác ABC vuông tại C , tức là BC vuông góc với AC (2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

c, Ta có : AE+BF =2OC=2R không đổi

d, Ta có  $AE.BF\le \frac{{\left(AE+BF\right)}^2}{4}=R^2$

suy ra AE.BF lớn nhất = $R^2$óAE=BF=R

Điều này xẩy ra khi C là điểm chính giữa cung AB