Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H

* Hướng dẫn giải

a, ∆CHE' cân tại C => $\widehat{CE\text{'}H}=\widehat{CHE\text{'}}$

DBHF' cân tại B => $\widehat{BF\text{'}H}=\widehat{BHF\text{'}}$

Mà => $\widehat{CHE\text{'}}=\widehat{BHF\text{'}}$ (đối đỉnh)

=> $\widehat{CE\text{'}H}=\widehat{BF\text{'}H}$

=> Tứ giác BCE'F'  nội tiếp đường tròn tâm (O)

b, Có $\widehat{BFC\text{'}}=\widehat{BE\text{'}C}=\widehat{CHE\text{'}}=\widehat{CAB}$

Vậy A, F', E' cùng chắn BC dưới góc bằng nhau

=> 5 điểm B, F', A, E', C cùng thuộc một đường tròn tâm (O)

c, AF' = AE' (=AH) => AO là trung trực của EF => AO ^ E'F'. DHE'F' có EF là đường trung bình => EF//E'F'

=> AO ^ FE

d, $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}={90}^0$ => AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH. Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC

=> OI = $\frac{1}{2}$AH, BC cố định => OI không đổi

=> Độ dài AH không đổi

=> Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆AEF không đổi