Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

* Hướng dẫn giải

Biến đổi M, ta được

M = $\frac{4x^2{y}^2}{\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}$ = $\frac{4}{{\left({\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}\right)}^2}+{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2$

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{x}$ ta được ab = 1, suy ra $a^2+b^2\ge 2$

Từ đó ta có

M = $\frac{4}{{\left(a+b\right)}^2}+a^2+b^2$ = $\frac{4}{a^2+b^2+2}+\frac{a^2+b^2+2}{4}$ $+\frac{3\left(a^2+b^2+2\right)}{4}-2$ ≥ 2 + 3 – 2 = 3

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = ±1 <=>