a) Tìm điểm cố định của đường thẳng y bằng (m trừ 1)x cộng 2m trừ 1

* Hướng dẫn giải

a) y = (m – 1)x + 2m – 1

Gọi M $\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 đi qua với mọi m

=> $y_0$ = (m - 1) $x_0$ + 2m - 1 ⇔ ($x_0$ + 2)m - ($y_0$+$x_0$+ 1)=0 (*)

Để đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 luôn đi qua M $\left(x_0;y_0\right)$ với mọi m thì phương trình (*) nghiệm đúng với mọi m

Vậy đường thẳng y = (m – 1)x + 2m – 1 luôn đi qua M (–2; 1)

b) Để đường thẳng (d): y = mx + 1 đi qua điểm A (3; 7), thì A ∈ d :

7 = m.3 + 1 ⇔ m = 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$2x^2=mx+1\iff 2x^2-mx-1=0$

Δ = $m^2$ - 4.2.(-1) = $m^2$ + 8 > 0

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Theo định lí Vi-et, ta có:

Theo bài ra:

T = $x_1{x}_2+y_1{y}_2=x_1{x}_2+\left(m{x}_1+1\right)\left(m{x}_2+1\right)$

= $x_1{x}_2+m\left(x_1+x_2\right)+m^2{x}_1{x}_2+1$

Vậy T = 1/2