Cho tam giác ABC nhọn (AB nhỏ hơn AC) nội tiếp đường tròn (O)

* Hướng dẫn giải

a, Ta có: BC là dây cung, I là trung điểm của BC

=> OI ⊥ BC

Xét tứ giác SAOI có:

∠SAO = ${90}^0$ (Do SA là tiếp tuyến của (O))

∠SOI = ${90}^0$ (OI ⊥ BC)

=> ∠SAO + ∠SOI = ${180}^0$

=> Tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp

b, Tam giác AOD cân tại O có OH là đường cao

=> OH cũng là trung trực của AD

=> SO là trung trực của AD

=> SA = SA => ΔSAD cân tại S

=> ∠SAD = ∠SDA

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\angle SAD=\angle SDA\\ \angle OAD=\angle ODA\end{array}\right.$ => ∠SAD + ∠OAD = ∠SDA + ∠ODA

⇔ ∠SAO = ∠SDO ⇔ ∠SDO = ${90}^0$

Vậy SD là trung tuyến của (O)

c, Xét ΔSAB và ΔSCA có:

∠ASC là góc chung

∠SAB = ∠ACB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

=> ΔSAB ∼ ΔSCA

=> $\frac{SA}{SC}$ = $\frac{SB}{SA}$

=> $SB.SC=S{A}^2$ (1)

ΔSAO vuông tại O có AH là đường cao

=> $S{A}^2=SH.SO$ (2)

Xét ΔSKH và ΔSOI có:

∠OSI là góc chung

∠SHK = ∠SIO = ${90}^0$

=> ΔSKH ∼ ΔSOI

=> $\frac{SK}{SO}$ = $\frac{SH}{SI}$ => SK.SI = SH.SO (3)

Từ (1), (2) và (3) => SK.SI = SB.SC

d, Ta có: ∠PMQ = ${90}^0$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> PS ⊥ MQ

Xét ΔSAM và ΔSPA có:

∠ASP là góc chung

∠SAM = ∠SPA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)

=> ΔSAM ∼ ΔSPA

=> $\frac{SA}{SP}$ = $\frac{SM}{SA}$ => $SP.SM=S{A}^2$

Do đó ta có:

SP.SM = SK.SI <=> $\frac{SM}{SI}$ = $\frac{SK}{SP}$

Xét ΔSKM và ΔSPI có:

$\frac{SM}{SI}$ = $\frac{SK}{SP}$

∠ISP là góc chung

=> ΔSKM ∼ ΔSPI

=> ∠SMK = ∠SIP = ${90}^0$ => MK ⊥ SP

Ta có: PS ⊥ MQ ; MK ⊥ SP => M;Q;K thẳng hàng