Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Dựng đường tròn tâm O

* Hướng dẫn giải

a, Xét tứ giác MEOH có:

∠MEO = ${90}^0$ (ME là tiếp tuyến của (O))

∠MHO = ${90}^0$ (OH ⊥BC)

=>∠MEO + ∠MHO = ${180}^0$

=> Tứ giác MEOH là tứ giác nội tiếp đường tròn

b, Ta có: ∠AEH = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠BEH = ${90}^0$

Xét ΔABH và ΔBHE có:

∠ABH là góc chung

∠BHA = ∠BEH = ${90}^0$

=>ΔABH ∼ ΔHBE (g.g)

=> $\frac{AB}{BH}$ = $\frac{AH}{HE}$

=> AB.HE=AH.BH

c, Xét tứ giác AEHF có:

∠AEH = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

∠EAF = ${90}^0$

∠AHF = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Mà O là trung điểm của AH

=> O là trung điểm của EF

Hay E, O, F thẳng hàng

d, Xét ΔMEO và ΔMHO có:

∠MEO = ∠MHO = ${90}^0$

EO = OH

MO là cạnh chung

=> ΔMEO = ΔMHO (c.h-c.g.v)

=> ME = MH

Ta có: ME = MH và MO = OH

=>MO là đường trung trực của EH

=> MO ⊥ EH

Mà AB ⊥EH

=> MO // AB

Xét tam giác ABH có:

O là trung điểm của AH

MO // AB

=> MO = 1/2AB = $\sqrt{10}$

Chứng minh tương tự, ta có:

NO // AC ; NO = 1/2AC = $\sqrt{15}$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}MO//AB\\ NO//AC\\ AB\perp AC\end{array}\right.$ =>MO ⊥ NO => ΔMON vuông tại O

=> $S_{MON}=1/2.OM.ON=1/2.\sqrt{10}.\sqrt{15}$ = $\frac{5\sqrt{6}}{2}$ $c{m}^2$