Xét sự biến thiên của các hàm số f(x) = (x+1)/(x-1)

* Hướng dẫn giải

❶ Với mọi $x,y\in \left(1;+\infty \right),x\ne y$. Lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\frac{x+1}{x-1}-\frac{y+1}{y-1}}{x-y}\\ =\frac{-2}{(x-1)(y-1)}<0\end{array}$

 (do $x>1,y>1$ nên $(x-1)(y-1)>0$).

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$

❷ Với mọi $x,y\in \left(-\infty ;-2\right),x\ne y$. Lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\frac{x}{2x+3}-\frac{y}{2y+3}}{x-y}\\ =\frac{-2}{(2x+3)(2y+3)}>0\end{array}$

(do $x<-2,y<-2$ nên $(2x+3)(2y+3)>0$).

Do đó hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$