Xét sự biến thiên của các hàm số

* Hướng dẫn giải

❶ Điều kiện xác định của hàm số $\left(0;+\infty \right)$

Với mọi $x,y\in \left(0;+\infty \right),x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}}{x-y}\\ =\frac{(x-y)(x+y)}{\left(\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}\right)\left(x-y\right)}\\ =\frac{x+y}{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}}>0\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❷   Điều kiện xác định của hàm số $\left(-\infty ;-2\right)$

Với mọi $x,y\in \left(-\infty ;-2\right),x\ne y$. Ta lập tỉ lệ:

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^2+4x+5\right)-\left(y^2+4y+5\right)}{x-y}\\ =\frac{(x-y)(x+y+4)}{x-y}\\ =x+y+4\end{array}$

Do $x<-2,y<-2$ nên $x+y+4<0$.

Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$