Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là đường phân giác

* Hướng dẫn giải

Vì AD là đường phân giác của góc A nên

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{AB}{AB+AC}$

$\Rightarrow DB=\frac{a.c}{b+c}$ và $DC=\frac{a.b}{b+c}$

Ta phải chứng minh $A{D}^2=AB.AC-DB.DC$

Thật vậy, trên tia đối AD lấy E sao cho $\widehat{CBE}=\widehat{DAC}=\widehat{DAB}$

$\Rightarrow \Delta CED~\Delta ABD$ (g.g) suy ra $DB.DC=AD.DE$ và $\widehat{ABD}=\widehat{AEC}$

$\Rightarrow \Delta ABD~\Delta AEC$ (g.g) suy ra $AB.AC=AD.AE$

Do đó $AB.AC-DB.DC=AD(AE-DE)=A{D}^2$

Khi đó

$\begin{array}{l}A{D}^2=AB.AC-DB.DC\\ =bc-\left(\frac{ac}{b+c}\right).\left(\frac{ab}{b+c}\right)\\ =bc.\left(1-\frac{a^2}{{(b+c)}^2}\right)\\ =bc\left(\frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{{(b+c)}^2}\right)\end{array}$

Theo giả thiết tam giác ABC  vuông tại A nên $b^2+c^2=a^2$

Do đó $A{D}^2=\frac{2b^2{c}^2}{{(b+c)}^2}\Rightarrow AD=\frac{\sqrt{2}}{b+c}bc$