Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, r, r1, r2 lần lượt là

* Hướng dẫn giải

1.

$\begin{array}{l}\sin \frac{C}{2}=\frac{ON}{OC}=\frac{IP}{IC}\Rightarrow \frac{r}{OC}=\frac{r_2}{IC}\Rightarrow r_2=r.\frac{IC}{OC}\left(1\right)\\ \Delta CHI~\Delta CAO\Rightarrow \frac{IC}{OC}=\frac{HC}{AC}\left(2\right)\\ \Delta HAC~\Delta ABC\Rightarrow \frac{HC}{AC}=\frac{AC}{BC}\left(3\right)\end{array}$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $r_2=r.\frac{AC}{BC}=r.\frac{b}{a}$

Hoàn toàn tương tự suy ra $r_1=r.\frac{MK}{OE}=r.\frac{c}{a}$

2. Ta có ${r_1}^2+{r_2}^2=r^2\left(\frac{b^2+c^2}{a^2}\right)=r^2$