Gọi (x; y) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình 6x − 7y = 5. Tính x – y

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có 6x – 7y = 5 $\iff x=\frac{7y+5}{6}\iff x=y+\frac{y+5}{6}$

Đặt $\frac{y+5}{6}=t\left(t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)\Rightarrow$y = 6t – 5

$\Rightarrow x=y+\frac{y+5}{6}= 6t – 5 + t = 7t – 5$

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=7t-5\\ y=6t-5\end{array}\right.\left(t\in \mathbb{Z}\right)$

Vì x, y nguyên dương nên $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}7t-5>0\\ 6t-5>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t>\frac{5}{7}\\ t>\frac{5}{6}\end{array}\right.\Rightarrow t>\frac{5}{7}$

mà $\left(t\in \mathbb{Z}\right)\Rightarrow t\ge 1$

Do đó nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình có được khi t = 1

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=7.1-5\\ y=6.1-5\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.\Rightarrow x-y=1$