Cho hệ phương trình x + my = 1 và mx - y = -m. Hệ thức liên hệ giữa x và y

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m\left(1-my\right)-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m-m^{2}y-y=-m\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ y\left(m^2+1\right)=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do 

$$\begin{gathered} m^2+1\ge 1\Rightarrow y=\frac{2m}{m^2+1} \\ \Rightarrow x=1-my=1-\frac{2m^2}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1} \end{gathered}$$

Xét 

$$\begin{gathered} x^2+y^2=\frac{4m^2}{{\left(1+m^2\right)}^2}+\frac{{\left(1-m^2\right)}^2}{{\left(1+m^2\right)}^2} \\ =\frac{4m^2+1-2m^2+m^4}{{\left(1+m^2\right)}^2}=\frac{m^4+2m^2+1}{{\left(1+m^2\right)}^2} \\ =\frac{{\left(1+m^2\right)}^2}{{\left(1+m^2\right)}^2}=1 \end{gathered}$$

Vậy $x^2+y^2=1$ không phụ thuộc vào giá trị của m