Cho hệ phương trình (m - 1)x - my = 3m - 1 và 2x - y = m + 5. Tìm m để có

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ -\left(m-1\right)x=-m^2-5m+3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\left(1\right)\\ \left(m+1\right)x={\left(m+1\right)}^2\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m $\ne$ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{m+1}=m+1$, thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m $\ne$ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

$$\begin{gathered} S=x^2+y^2={(m+1)}^2+{(m–3)}^2 \\ =m^2+2m+1+m^2-6m+9 \\ =2m^2–4m+10=2(m^2–2m+1)+8 \\ =2{(m–1)}^2+8 \end{gathered}$$

Vì ${(m–1)}^2 \ge 0; \forall m\Rightarrow 2{(m–1)}^2+8\ge 8; \forall m$

Hay S $\ge$ 8; $\forall$m. Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 $\iff$ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm