Cho hệ phương trình (a + 1)x - y = a + 1 (1) và x + (a - 1)y = 2 (2) ( a là tham số

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được:

$$\begin{gathered} x+(a–1)\left[\right(a+1)x–(a+1\left)\right]2 \\ \iff x+(a^2–1)x–(a^2–1)=2\iff a^{2}x=a^2+1 \left(3\right) \end{gathered}$$

Với a $\ne$ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} y=(a+1)\frac{a^2+1}{a^2}-(a+1) \\ =\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a^2+1\right)}{a^2} \\ =\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2} \end{gathered}$$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ y\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\\ \frac{a+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\end{array}\right. (a \in \mathbb{Z})$

Điều kiện cần:$x=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}\in \mathbb{Z}\iff \frac{1}{a^2}\in \mathbb{Z}$ mà $a^2>0\iff a^2=1$

$\iff a=\pm 1 (TM a \ne 0)$

Điều kiện đủ:

a = −1 $\Rightarrow$ y = 0 $\in \mathbb{Z}$ (nhận)

a = 1 $\Rightarrow$ y = 2 $\in \mathbb{Z}$ (nhận) 

Vậy a = $\pm$1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên