Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có

tan B = $\frac{AD}{BD}$ ; tan C = $\frac{AD}{CD}$

Suy ra tan B. tan C = $\frac{A{D}^2}{BD,CD}$ (1)

Lại có $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$) và $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}$ = 90^o

Do đó $∆BDH đồng dạng ∆ADC$ (g.g), suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{BD}{AD}$, do đó BD.DC = DH.AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tan B. tan C = $\frac{A{D}^2}{DH.AD}=\frac{AD}{DH}$ (3)

Theo giả thiết $\frac{HD}{AH}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{HD}{AH+HD}=\frac{1}{2+1}$ hay $\frac{HD}{AD}=\frac{1}{3}$, suy ra AD = 3HD

Thay vào (3) ta được: tan B. tan C = $\frac{3HD}{DH}=3$

Đáp án cần chọn là: B