Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi D là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông BNC và BMC có ND, MD là hai đường trung tuyến

$\Rightarrow DN=DB=DC=DM=\frac{BC}{2}$ nên bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$

Do đó ta xác định được vị trí tương đối của điểm G với đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a (a > 0)

Ta có G là trực tâm $∆$ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ABC suy ra $GD=\frac{1}{3}AG$

D là trung điểm $BC\Rightarrow AD\perp BD; DC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:

$$\begin{gathered} AD=\sqrt{A{C}^2-D{C}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow GD=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \end{gathered}$$

Nhận thấy $GD=\frac{a\sqrt{3}}{6}<\frac{a}{2}=\frac{BC}{2}$ nên điểm G nằm trong đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$

Và $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}>\frac{a}{2}=\frac{BC}{2}$ nên điểm A nằm ngoài đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$