Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Vì G là giao điểm của hai đường cao BM, CN nên G là trực tâm $∆$ABC

Ta có G là trực tâm $∆$ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ABC suy ra $AG = \frac{2}{3}AD$

D là trung điểm $BC \Rightarrow AD \perp BD; DC = \frac{DC}{2}=\frac{3}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:

$$\begin{gathered} AD = \sqrt{B{C}^2-D{C}^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Gọi I là trung điểm của AG. Xét tam giác vuông ANG có IN = IA = IG, xét tam giác vuông AMG có IM = IA = IG nên $IM = IN = IA = IG = \frac{AG}{2}$

Hay 4 điểm A, N, G, M cùng thuộc một đường tròn bán kính $R=\frac{AG}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$