Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Vẽ tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại H, K. Ta có

ED $\perp$ HK, ED $\perp$ BC $\Rightarrow$ HK // BC

Gọi N là tiếp điểm của đường tròn (O) tiếp xúc với AC

OK, OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD (tính chất trung tuyến) $\Rightarrow \widehat{KOC} = {90}^o$

+ Xét $∆$OEK và $∆$CDO có $\widehat{OEC}=\widehat{CDO}(= {90}^o), \widehat{OKE}=\widehat{COD}$ (cùng phụ với $\widehat{EOK}$). Do đó $∆$OEK $\backsim$ $∆$CDO $\Rightarrow \frac{EK}{OD}=\frac{OE}{CD}$ hay $\frac{EK}{r}=\frac{r}{CD}$

Tương tự cũng có $\frac{HE}{r}=\frac{r}{BD}$. Do vậy $\frac{EK}{HE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow \frac{EK}{EK+HE}=\frac{BD}{BD+CD}$ hay $\frac{EK}{HK}=\frac{BD}{BC}$(1)

+ Trong $∆$ABM có HE // BM, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét trong tam giác ta có: $\frac{HE}{BM}=\frac{AE}{AM}$. Tương tự có $\frac{EK}{CM}=\frac{AE}{AM}$

Do đó: $\frac{HE}{BM}=\frac{EK}{CM}\Rightarrow \frac{EK}{CM}=\frac{EK+HE}{CM+BM}$ hay $\frac{EK}{CM}=\frac{HK}{BC}\Rightarrow \frac{EK}{HK}=\frac{CM}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) cho ta BD = CM