Một hình trụ có thể tích V không đổi. Hỏi bán kính đáy bằng bao nhiêu.

* Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: A

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R, h (R > 0; h > 0)

Ta có $V={\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{\mathrm{\pi }}{{\mathrm{\pi R}}^2}$.

Diện tích toàn phần của hình trụ

$S_{tp}=2\mathrm{\pi Rh}+2{\mathrm{\pi R}}^2=2\mathrm{\pi R}\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi R}}^2}+2{\mathrm{\pi R}}^2=\frac{2\mathrm{V}}{\mathrm{R}}+2{\mathrm{\pi R}}^2$

$=\frac{V}{R}+\frac{V}{R}+2{\mathrm{\pi R}}^2\ge 3\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}}.\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}}.2{\mathrm{\pi R}}^2}=3\sqrt[3]{2{\mathrm{\pi V}}^2}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{V}{R}=2{\mathrm{\pi R}}^2\Rightarrow \mathrm{R}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{2\mathrm{\pi }}}$

Vậy với $\mathrm{R}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{2\mathrm{\pi }}}$ thì S_tp đạt giá trị nhỏ nhất là $3\sqrt[3]{2{\mathrm{\pi V}}^2}$.