Bài 27 trang 88 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Giải tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết rằng:

a) \(b=10cm;\ \widehat{C}=30^{\circ}\)

b) \(c=10cm;\ \widehat{C}=45^{\circ}\)

c) \(a=20cm;\ \widehat{B}=35^{\circ}\)

d) \(c=21cm;\ b=18cm\)

Hướng dẫn giải

Giải tam giác vuông là đi tìm tất cả các yếu tố (góc và cạnh) chưa biết của tam giác đó.

+) Sử dụng định lý Pytago: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(BC^2 = AC^2 + AB^2.\)

+) Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì:

 \(b=a.\sin B = a . \cos C;\)                  \(b = c. \tan B = c. \cot C;\)

\(c=a.\sin C = a. \cos B;\)                    \(c=b.\tan C = b.\cot B\). 

Lời giải chi tiết

a) (H.a)

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(AC=10cm,\ \widehat{A}=30^o\). Ta cần tính \(AB,\ BC\) và \(\widehat{B}\).

+) Ta có: \(\widehat{B} + \widehat{C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{B}=90^o -30^{\circ}=60^{\circ}.\)

+) Lại có

\(AB = AC. \tan C=10.tan 30^o\)

        \(=\dfrac{10\sqrt 3}{3} \approx 5,77(cm).\)

\(AC=BC. \cos C \Rightarrow 10=BC. \cos 30^o\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{10}{\cos 30^o}=\dfrac{20\sqrt 3}{3} \approx 11,55(cm)\).

b) (H.b)

+) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=10,\ \widehat{C}=45^o\). Ta cần tính \(AC,\ BC\) và \(\widehat{B}\).

+) Ta có: \(\widehat{B}+ \widehat{C}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{B}=90^o - \widehat{C}=90^o-45^{\circ}=45^{\circ}.\)

Do đó tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) nên \(AB=AC=10(cm).\)

+) Lại có: \(AB=BC. \sin C \Rightarrow 10=BC. sin 45^o\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{10}{\sin 45^o}=10\sqrt 2 \approx 14,14(cm).\)

c) (H.c)

+) Xét tam giác \(ABC\) có \(BC=20cn,\ \widehat{B}=35^o\). Ta cần tính \(AB,\ AC\) và \(\widehat{C}\).

+) Ta có: \(\widehat{C}+ \widehat{B}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{C}= 90^o - \widehat{B}=90^o - 35^{\circ}=55^{\circ}.\)

+) Lại có: \(AB=BC\cdot cosB=20\cdot cos35^{\circ}\approx 16,383 (cm)\)

                \(AC= BC \cdot sinB=20\cdot sin35^{\circ}\approx 11,472 (cm)\).

d) (H.d)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(AC=18,\ AB = 21\). Ta cần tính \(BC,\ \widehat{B},\ \widehat{C}\).

Áp dụng định lí Pyta go, ta được: \(BC^2=AC^2+AB^2=18^2 +21^2=765\)

\(\Rightarrow BC = \sqrt{765}=3\sqrt{85} \approx 27,66(cm)\).

Lại có:

\(\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{18}{21} \approx 0,8571\) \(\Rightarrow \widehat{B}\approx 41^{\circ}.\)

Vì \(\widehat{C }+\widehat{B}=90^o \Rightarrow \widehat{C} \approx 90^o - 41^o \approx 49^{\circ}.\)