Đề kiểm 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 - Chương 3 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1: Giải hệ phương trình :

a)\(\left\{ \matrix{  \sqrt 2 x - \sqrt 3 y =  - 1 \hfill \cr  \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \sqrt 2 y = \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.\) 

b) \(\left\{ \matrix{  4x - 3y =  - 10 \hfill \cr  {x \over 2} + {{5y} \over 4} = 2. \hfill \cr}  \right.\)

Bài 2: Tìm m để hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{  2x - 3 = 0 \hfill \cr  ax + \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.\) có nghiệm duy nhất.

Bài 3: Hai người cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 6 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được \({2 \over 3}\) công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu sẽ xong.

Hướng dẫn giải

Bài 1: a) Ta có : \(\left\{ \matrix{  \sqrt 2 x - \sqrt 3 y =  - 1 \hfill \cr  \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \sqrt 2 y = \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2x - \sqrt 6 y =  - \sqrt 2  \hfill \cr  \left( {3 + \sqrt 3 } \right)x - \sqrt 6 y = \sqrt 6  \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x = \sqrt 6  + \sqrt 2  \hfill \cr  \sqrt 2 x - \sqrt 3 y =  - 1 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = \sqrt 2  \hfill \cr  y = \sqrt 3  \hfill \cr}  \right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất : \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right).\)

b)Ta có : \(\left\{ \matrix{  4x - 3y =  - 10 \hfill \cr  2x + 5y = 8 \hfill \cr}  \right.\)\(\; \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  4x - 3y =  - 10 \hfill \cr  4x + 10y = 16 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  13y = 26 \hfill \cr  4x - 3y =  - 10 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - 1 \hfill \cr  y = 2 \hfill \cr}  \right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất: \((− 1; 2).\)

Bài 2: Ta có : \(\left\{ \matrix{  2x - 3 = 0 \hfill \cr  ax + \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} \hfill \cr}  \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = {3 \over 2} \hfill \cr  ax + \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = {3 \over 2} \hfill \cr  \left( {a - 1} \right)y = {3 \over 2} - {3 \over 2}a\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \hfill \cr}  \right.\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow    a - 1 = 0  \Leftrightarrow  a = 1.\)

Bài 3: 7 giờ 12 phút = \({{36} \over 5}\) giờ.

Gọi \(x, y\) là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc ( \(x > 0, y > 0; x, y\) tính theo giờ).

Một giờ người thứ nhất làm được \({1 \over x}\) công việc, một giờ người thứ hai làm được \({1 \over y}\) công việc.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{  {1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {36}} \hfill \cr  {6 \over x} + {3 \over y} = {2 \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

Đặt \(u = {1 \over x};v = {1 \over y}\left( {u > 0,v > 0} \right)\). Ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \matrix{  u + v = {5 \over {36}} \hfill \cr  6u + 3v = {2 \over 3} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3u + 3v = {{15} \over {36}} \hfill \cr  6u + 3v = {2 \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3u = {1 \over 4} \hfill \cr  u + v = {5 \over {36}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  u = {1 \over {12}} \hfill \cr  v = {1 \over {18}}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(x = 12; v = 18.\)

Vậy người thứ nhất làm một mình trong \(12\) giờ; người thứ hai làm một mình trong \(18\) giờ.