Giải bài 41 trang 27 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Đề bài

    Giải các hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

    a) \( \left\{\begin{matrix} & x\sqrt{5} - ( 1+ \sqrt{3})y = 1 \\ & ( 1- \sqrt{3})x +y \sqrt{5}= 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)\( \left\{\begin{matrix} & 5 x \sqrt{5} ​​( 1+ \sqrt{3})y = \sqrt{5} \\ &- 2x + \sqrt{5}( 1- \sqrt{3})x = 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\) \( \left\{\begin{matrix} & x\sqrt{5} - ( 1+ \sqrt{3})y = 1 \\ &3x = 1 + \sqrt{3}+ \sqrt{5} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\) \( \left\{\begin{matrix} & x= \dfrac{1 + \sqrt{3}+ \sqrt{5}}{3} \\ & y = \dfrac{2 + \sqrt{5}+ \sqrt{15}}{3( 1+\sqrt{3}) }\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} & x= \dfrac{1 + \sqrt{3}+ \sqrt{5}}{3} \\ & y = \dfrac{-1 + \sqrt{3}+ \sqrt{ 5}}{3 }\end{matrix}\right. \)

  Vậy hệ phương trình có nhiệm duy nhất.

   b) Điều kiện \(x \neq - 1; y \neq -1\)

   Đặt \(u = \dfrac{x}{x+1}; v = \dfrac{y }{y+1}\) ta có hệ phương trình:

   \( \left\{\begin{matrix} & 2u + v = \sqrt{2}\\ & u + 3v = -1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\) \( \left\{\begin{matrix} & u =\dfrac{1 + 3 \sqrt{2}}{5} \\ & v = \dfrac{-2 -\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right. \)

  Suy ra \( \left\{\begin{matrix} & \dfrac{x}{x+1} =\dfrac{1 + 3 \sqrt{2}}{5} \\ & \dfrac{y}{y+1} = \dfrac{-2 -\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)\( \left\{\begin{matrix} & x =\dfrac{1 + 3 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}} \\ & v = \dfrac{-2 -\sqrt{2}}{7 +\sqrt{2}}\end{matrix}\right. \)

  Hệ có nghiệm duy nhất (\( \dfrac{1 + 3 \sqrt{2}}{4 - 3 \sqrt{2}}, \dfrac{-2 -\sqrt{2}}{7 +\sqrt{2}}\))