Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2).\)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM.\)

Hướng dẫn giải

+) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A(x_A; \, y_A)\) và \(B(x_B; \, y_B)\) là: \(\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}.\)

+) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC  hay nhận VTCP của BC là VTPT.

+) Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đường thẳng \(AB:  \frac{x-1}{3-1}=\frac{y-4}{-1-4}\)

\(\Leftrightarrow  \frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{-5} \Leftrightarrow 5x+2y-13=0. \)

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng \(BC: x - y -4 = 0\)

phương trình đường thẳng \(CA: 2x + 5y -22 = 0\)

b) Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\).

\(\vec{BC} = (3; 3)\) \(\Rightarrow \vec{AH}  ⊥ \vec{BC}\) nên \(\vec{AH}\) nhận vectơ  \(\vec{n} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

\(AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0\)

\(\Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có \(M (\frac{9}{2}; \frac{1}{2})\)

Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A, M\). 

\(AM:{{x - 1} \over {{9 \over 2} - 1}} = {{y - 4} \over {{1 \over 2}-4}} \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)