Bài 6 trang 80 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho đường thẳng d có phương trình tham số : \(\left\{\begin{matrix} x = 2 + 2t& \\ y = 3 +t & \end{matrix}\right..\)  Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) và cách điểm \(A(0; 1)\) một khoảng bằng \(5.\)

Hướng dẫn giải

+) Gọi tọa độ điểm M theo tham số t.

+) Độ dài đoạn thẳng AM được tính theo công thức: \(AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2.}\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(M ∈ d\) nên \(M( 2 + 2t;  3 + t)\)

Độ dài đoạn \(MA\):

\(MA = \sqrt {{{\left( {x_M - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {y_M - {y_A}} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}\)

Mà \(MA = 5\) nên \(5 = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}\)

\(\Leftrightarrow 25 = 4{\left( {1 + t} \right)^2} + {\left( {2 + t} \right)^2}\)

\(\eqalign{ &  \Leftrightarrow 25=4t^2+8t+4+t^2+4t+4 \cr
& \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = - {{17} \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

-  Khi \(t = 1\) thay vào ta được \(M(4; 4)\)

-  Khi \(t =  - {{17} \over 5}\) thay vào ta được \(M\left( { - {{24} \over 5}; - {2 \over 5}} \right)\)

Vậy có \(2\) điểm \(M\) thuộc \(d\) cách điểm \(A(0;1)\) một khoảng bằng \(5.\)