Bài 4 trang 84 SGK Hình học 10

Đề bài

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) và đi qua điểm \(M(2 ; 1).\)

Hướng dẫn giải

Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm \(I\) của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm \(M(2 ; 1)\), mà điểm \(M\) này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm \(I\) phải là số dương: \(x_I=y_I>0.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(x_I=y_I= a\). Như vậy phương trình đường tròn cần tìm là :

\({\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right)^2} + {\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} = {a^2}{\rm{ }}\)

\(M(2; \, 1)\) thuộc đường tròn nên ta có:

\({a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right.\)

Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện

+) Với \(a = 1\) \( \Rightarrow {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}1 \, \, ({C_1})\)

+) Với \(a = 5\) \(\Rightarrow {\left( {x - 5{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y - 5} \right)^2}{\rm{ }} = {\rm{ 25}} \, \, ({C_2})\)