Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho đường tròn \((C)\) có phương trình:

 \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

a)     Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C).\)

b)    Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0).\)

c)     Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng  \(3x – 4y + 5 = 0.\)

Hướng dẫn giải

+) Đường tròn \((C): \, {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I(a; \, b)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}.\)

+) Xét xem điểm A có thuộc đường tròn (C) hay không. Nếu A thuộc (C) thì tiếp tuyến tại A của (C) nhận vecto IA làm VTPT. Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua A và nhận vecto IA làm VTVPT.

+) Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: \(d: \, 4x+3y+c=0.\) Khi đó ta có: \(R = d\left( {I;\;d} \right).\) Từ đó ta tìm được ẩn \(c\) hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết

a)   \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2}\)\( = 25 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}\)

 Tâm \(I(2 ; -4)\), bán kính \(R = 5\)

b)  Thay tọa độ \(A(-1 ; 0)\) vào vế trái, ta có :

\((-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25\)

Vậy \(A(-1 ;0)\) là điểm thuộc đường tròn.

\(\overrightarrow {IA} ( - 3;4)\)

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(A\) là:

\(-3(x +1) +4(y -0) =0 \)\(  \Leftrightarrow   3x - 4y + 3 = 0\)

c)  Đường thẳng  \(3x – 4y + 5 = 0\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n(3;-4)\)

Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  \(3x – 4y + 5 = 0\) nên tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'}(4;3)\) 

Phương trình tiếp tuyến có dạng là: \(4x+3y+c=0\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến tiếp tuyến bằng bán kính \(R=5\) do đó ta có:

\({{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c - 4| = 25\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
c - 4 = 25 \hfill \cr
c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 29 \hfill \cr
c = - 21 \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0\).