Bài 27 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:

a) \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11}  + 15 = 0\)

b) \({x^2}+ 4x – 3|x + 2| + 4 = 0\)

c) \(4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + |2x - {1 \over x}| - 6 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11}  + 15 = 0\)

 Đặt \(t = \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} \,\,(t \ge 0)\)

⇒ 4x² – 12x = t² – 11

Ta có phương trình:

\({t^2} - 11 - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 4 \hfill \cr} \right.\) 

+ Với t = 1, ta có:

\(\sqrt {4{x^2} - 12x + 11}  = 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 10 = 0\)  (vô nghiệm)

+ Với t = 4, ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{6 \pm \sqrt {56} } \over 4} = {{3 \pm \sqrt {14} } \over 2} \cr} \)

b) Đặt \(t = | x + 2|  (t ≥ 0) \)⇒ x² + 4x = t² – 4

Ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {t^2} - 4 - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
|x + 2| = 0 \hfill \cr
|x + 2| = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x + 2 = 3 \hfill \cr
x + 2 = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {-5, -2, 1}

c) Đặt \(t = |2x - {1 \over x}|\,\,\,(t \ge 0)\)

\( \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} - 4 \Rightarrow 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} = {t^2} + 4\)

Ta có phương trình:

\({t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\,\,(l) \hfill \cr} \right.\)

\(t = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {1 \over x} = 1 \hfill \cr
2x - {1 \over x} = - 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2{x^2} - x - 1 = 0 \hfill \cr
2{x^2} + x - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1;\,x = - {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1;\,x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy  \(S = {\rm{\{ }} - 1, - {1 \over 2};{1 \over 2};1\} \)