Bài 60 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải các hệ phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
2{(x + y)^2} - xy = 1 \hfill \cr
{x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr
{S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} - P = 7 \hfill \cr
{S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right.\) 

+ Với \(S = 3; P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
X = 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm \((1, 2); (2, 1)\)

+ Với \(S = -3, P = 2\), ta có nghiệm \((-1, -2); (-2, -1)\)

Vậy hệ có 4 nghiệm là: \((1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1)\)

b) Đặt \(S = x + y; P = xy\), ta có:

\(\left\{ \matrix{
2{S^2} - P = 1 \hfill \cr
SP = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = 0 \hfill \cr
P = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right.\)

+ Với \(S = 0; P = -1\) thì x, y là nghiệm phương trình

\({X^2} – 1 = 0 ⇔ X = ± 1\), ta có nghiệm \((1, -1); (-1, 1)\)

+ Với \(S =  \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\), ta có nghiệm: \((0,\,{1 \over {\sqrt 2 }});\,({1 \over {\sqrt 2 }},0);\,(0,\, - {1 \over {\sqrt 2 }});\,( - {1 \over {\sqrt 2 }},0)\)